Nama : Deri ramdani
Tempat tanggal lahir:Bandung 09 12 2000
Jenis kelamin : laki-laki
Cita-cita :Aransemen musik
Hobi :Bermain alat musik,
Membaca buku.
"Tanpa matematika tidak ada yang dapat kita lakukan. Semua di sekitar kita adalah matematika. Segala sesuatu di sekitar kita adalah nomor dan hitungan yang nyata"
Di dalam pelajaran matematika, polinomial atau suku banyak adalah pernyataan matematika yang melibatkan jumlahan perkalian pangkat dalam satu atau lebih variabel dengan koefisien.
Syaratnya:
1)Ada variable
2)Ada konstanta
3)koefisien
4)pangkat yang bilangannya cacah dan
bersusun.
Ada dua metode yang di gunakan antara lain:
>teori substitusi
>teori horner
Contoh teori substitusi :
F(x) =X³ + 2x² -- x + 3 dengan x=2
Maka =(2)³ + 2(2)² -- (2) + 3
= 8 + 8 -- 2 + 3
= 17
Contoh teori horner :
F(x) =X³+ 2x² -- x + 3 dengan (x—2)=>x=2
| 1 2 -1 3 <=koefisien di susun
| sesuai pangkat paling
_ 2|_____2__8___14__ besar.
1 4 7 (17) <= hasilnya sama 17
>Contoh polinomial:
F(x) =X³ + 2x² -- x + 3
>Contoh bukan polinomial:
F(x) =x^½+2x²–4x+8
^^ Pengoprasian polinomial
Di dalam pengoprasian polinomial dapat di lakukan dengan:
1) penjumlahan [f(x) + g(x)]
2) pengurangan [f(x) -- g(x) ]
3) perkalian [f(x) x g(x) ]
Contoh: F(x) = 4x³ + 3x² -- 5x + 3
G(x) =x⁴ -- 5x³ —2
#penjumlahan
F(x) + g(x)
(4x³+3x²—5x+3) + (x⁴ —5x³—2)
=x⁴+4x³–5x³+3x²–5x+3–2
=x⁴–x³+3x²–5x+1
#pengurangan
F(x) — g(x)
(4x³+3x²–5x + 3) — (x⁴–5x³–2)
= -x⁴+4x³+5x³+3x²–5x+3+2
= -x⁴+9x³+3x²–5x+5
#Untuk perkalian: F(x) =2x²+x–4
G(x) =4x²+2x–6
F(x) . g(x)
(2x²+x–4) . (4x²+2x–6)
=8x⁴+4x³–12x²+4x³+2x²–6x–16x²–8x+24
=8x4+4x³+4x³–12x²+2x²–16x²–6x–8x+24
=8x⁴+8x³–26x²–14x+24
Untuk pengoprasian polinomial pembagian dibedakan dengan nama "Algoritma Pembagian" dengan rumus:
F(x) = p(x) . h(x) + s(x)
Keterangan:
F(x) = Fungsi polinomial
P(x) = pembagi polinomial
H(x) =hasil bagi polinomial
S(x) =sisa bagi polinomial
Di oprasikan dengan cara:
1)pembagian bersusun
2)teori horner
Contoh pembagian bersusun :
F(x) = 2x³+3x²+4x–1 : x–1
__2x²_+_5x_+_9_ => hasil
x–1 / 2x³+3x²+4x–1
__2x³–2x²_______–
5x²+4x–1
_____5x²–5x____–
9x–1
________9x–9__–
_8_| =>sisa
Setelah selesai maka masukan ke rumus algoritma tadi :
F(x) = p(x) . h(x) + s(x)
2x³+3x²+4x–1= (x–1) . (2x²+5x+9)+8
=2x³+5x²+9x–2x²–5x–9+8
=2x³+5x²–2x²+9x–5x–
2x³+3x²+4x–1=2x³+3x²+4x–1 (terbukti)
Contoh teori horner :
F(x) = 2x³+3x²+4x–1 : (x–1) => x=1
| 2 3 4 -1
|
_1_|_____2__5__9___
| 2 5 9 _8_| => sisa
(2x²+5x+9) => ditentukan dengan
Hasil awal derajat 0 dari kanan
ke kiri
Setelah selesai maka masukan ke rumus algoritma tadi :
F(x) = p(x) . h(x) + s(x)
2x³+3x²+4x–1= (x–1) . (2x²+5x+9)+8
=2x³+5x²+9x–2x²–5x–9+8
=2x³+5x²–2x²+9x–5x–
2x³+3x²+4x–1=2x³+3x²+4x–1 (terbukti)
^^ Teorema Sisa
Di dalam teorema sisa dibagi menjadi: •Teorema sisa 1
Jika suku banyak f(x) dibagi (x–k), maka akan bersisa f(k) atau bisa di tulis:
____f(x) ____ bersisa f(k)
(X–k)
Contoh dengan pembagian bersusun :
F(x) = 2x³+3x²+4x–1 : x–1
__2x²_+_5x_+_9_
x–1 / 2x³+3x²+4x–1
__2x³–2x²_______–
5x²+4x–1
_____5x²–5x____–
9x–1
________9x–9__–
_8_| =>sisa
Contoh dengan teori horner :
F(x) = 2x³+3x²+4x–1 : (x–1) => x=1
| 2 3 4 -1
|
_1_|_____2__5__9___
| 2 5 9 _8_| => sisa
Maka kita masukan ke rumus tadi dengan mensubstitusi (=1
=>karena (x–k) =(x–1) maka k=1
F(k) = 2x³+3x²+4x–1
F(1) =2(1)³+3(1)²+4(1)–1
=2+3+4–1
=8 => (terbukti)
•Teorema sisa 2
Jika suku banyak f(x) : a(x)–b maka akan bersisa f(b/a)
Contoh dengan teori horner:
F(x) = X⁴+3x³+2x²+x–5 : (2x–1)=> x=½
| 1 3 2 1 -5
|
_½_|_____½____7/4___15/8____23/16__
1 7/2 15/4 23/8 –57/16_|=>sisa
Contoh dengan pembagian bersusun:
__½x³_+7/4x²_+15/8x_+23/16__
2x–1/X⁴+3x³+2x²+x–5
_X⁴–½x³__________–
7/2x³+ 2x² +x–5
__14/4x³–7/4x²___–
15/4x² + x –5
_______30/8x²–15/8x_____–
23/8x –5
____________46/16x –23/16__–
_–57/16_|=>sisa
Maka kita masukan ke rumus tadi dengan mensubstitusi (b/a) = (½)
=>karena a(x)–b=2(x)–1 maka (b/a) =(½)
F(x) = X⁴+3x³+2x²+x–5
F(½) =(½)⁴+3(½)³+2(½)²+(½)–5
=(¹/16)+(3/8)+(½) +(½)–5
=(7/16)–4
=–57/16 =>terbukti
•Teorema sisa 3
Jika suatu suku banyak f(x) : (x–a) (x–b) maka sisanya adalah px+q dimana f(a)=pa+q dan f(b)=pb+q dapat ditulis:
____f(x)____ sisanya px+q
(X–a) (x–b)
F(a)=pa+q
F(b)=pb+q
Contoh: x³–2x²+x+1 : x²–3x+2
*memfaktorkan
x²–3x+2 a=1
(X–1)(x–2) b=2
F(x)=x³–2x²+x+1
F(a)=x³–2x²+x+1 =>f(a)=pa+q
=(1)³–2(1)²+(1)+1 (1)=p(1)+q
=1 p+q=1
F(b)=x³–2x²+x+1 =>f(b)=pb+q
=(2)³–2(2)²+(2)+1 (3)=p(2)+q
=3 2p+q=3
*eliminasi
P +q=1
___2p+q=3__–
–p =–2
P =2
*substitusi
P +q=1
(2)+q=1
q=1–2
q=–1
°°°sisa pembagian
Px+q
2x–1
*dengan pembagian bersusun:
__x_+_1______
x²–3x+2 /x³ –2x²+x+1
__X³_3x²+2x____–
X² –x +1
______X²–3x+2__–
_2x–1_| =>sisa
^^Teorema Faktor
Jika suatu algoritma pembagian diuraikan suatu sisa bernilai nol maka itulah faktor.
Contoh:
X⁴+14x³+29x²–140x–300
Dengan teori horner:
| 1 14 29 -140 -300—>yang 300
| faktorkan
_–10_|___________________ jadi ±10 &±30
kita ambil yang –10 sehingga pembaginya –10. Maka:
| 1 14 29 -140 -300
|
_–10_|____-10_-40___110__300__
1 4 -11 -30 _0_| =>sisa
(X³+4x²–11x–30) =>hasil
X=–10 => (x+10)
Dilanjutkan:
X³+4x²–11x–30 =>yang 30 faktorkan
±5 & ±6
Kita ambil yang -5 sehingga pembaginya -5. Maka:
| 1 4 -11 -30
|
_–5_|____-5___5___30______
1 -1 -6 _0_|=>sisa
(X²–x–6) =>hasil
X=–5 =>(x+5)
Dilanjutkan memfaktorkan:
(X²–x–6)
(X+2) (x–3)
X=–2 x=3
Maka di peroleh hp{–10,–5,–2,3}
Pembuktian:
X⁴+14x³+29x²–140x–300=(x+10)(x+5)
(X+2)(x–3)
=(x²+5x+10x+50)
(X²–3x+2x–6)
=(x²+15x+50)
(X²–x–6)
=x⁴–x³–6x²+15x³
–15x²–90x
+50x²–50x–300
X⁴+14x³+29x²–140x–300=X⁴+14x³+29x²
–140x–300
!!(TERBUKTI)!!
