Di dalam pelajaran matematika, polinomial atau suku banyak adalah pernyataan matematika yang melibatkan jumlahan perkalian pangkat dalam satu atau lebih variabel dengan koefisien.
Syaratnya:
1)Ada variable
2)Ada konstanta
3)koefisien
4)pangkat yang bilangannya cacah dan
bersusun.
Ada dua metode yang di gunakan antara lain:
>teori substitusi
>teori horner
Contoh teori substitusi :
F(x) =X³ + 2x² -- x + 3 dengan x=2
Maka =(2)³ + 2(2)² -- (2) + 3
= 8 + 8 -- 2 + 3
= 17
Contoh teori horner :
F(x) =X³+ 2x² -- x + 3 dengan (x—2)=>x=2
| 1 2 -1 3 <=koefisien di susun
| sesuai pangkat paling
_ 2|_____2__8___14__ besar.
1 4 7 (17) <= hasilnya sama 17
>Contoh polinomial:
F(x) =X³ + 2x² -- x + 3
>Contoh bukan polinomial:
F(x) =x^½+2x²–4x+8
^^ Pengoprasian polinomial
Di dalam pengoprasian polinomial dapat di lakukan dengan:
1) penjumlahan [f(x) + g(x)]
2) pengurangan [f(x) -- g(x) ]
3) perkalian [f(x) x g(x) ]
Contoh: F(x) = 4x³ + 3x² -- 5x + 3
G(x) =x⁴ -- 5x³ —2
#penjumlahan
F(x) + g(x)
(4x³+3x²—5x+3) + (x⁴ —5x³—2)
=x⁴+4x³–5x³+3x²–5x+3–2
=x⁴–x³+3x²–5x+1
#pengurangan
F(x) — g(x)
(4x³+3x²–5x + 3) — (x⁴–5x³–2)
= -x⁴+4x³+5x³+3x²–5x+3+2
= -x⁴+9x³+3x²–5x+5
#Untuk perkalian: F(x) =2x²+x–4
G(x) =4x²+2x–6
F(x) . g(x)
(2x²+x–4) . (4x²+2x–6)
=8x⁴+4x³–12x²+4x³+2x²–6x–16x²–8x+24
=8x4+4x³+4x³–12x²+2x²–16x²–6x–8x+24
=8x⁴+8x³–26x²–14x+24
Untuk pengoprasian polinomial pembagian dibedakan dengan nama "Algoritma Pembagian" dengan rumus:
F(x) = p(x) . h(x) + s(x)
Keterangan:
F(x) = Fungsi polinomial
P(x) = pembagi polinomial
H(x) =hasil bagi polinomial
S(x) =sisa bagi polinomial
Di oprasikan dengan cara:
1)pembagian bersusun
2)teori horner
Contoh pembagian bersusun :
F(x) = 2x³+3x²+4x–1 : x–1
__2x²_+_5x_+_9_ => hasil
x–1 / 2x³+3x²+4x–1
__2x³–2x²_______–
5x²+4x–1
_____5x²–5x____–
9x–1
________9x–9__–
_8_| =>sisa
Setelah selesai maka masukan ke rumus algoritma tadi :
F(x) = p(x) . h(x) + s(x)
2x³+3x²+4x–1= (x–1) . (2x²+5x+9)+8
=2x³+5x²+9x–2x²–5x–9+8
=2x³+5x²–2x²+9x–5x–
2x³+3x²+4x–1=2x³+3x²+4x–1 (terbukti)
Contoh teori horner :
F(x) = 2x³+3x²+4x–1 : (x–1) => x=1
| 2 3 4 -1
|
_1_|_____2__5__9___
| 2 5 9 _8_| => sisa
(2x²+5x+9) => ditentukan dengan
Hasil awal derajat 0 dari kanan
ke kiri
Setelah selesai maka masukan ke rumus algoritma tadi :
F(x) = p(x) . h(x) + s(x)
2x³+3x²+4x–1= (x–1) . (2x²+5x+9)+8
=2x³+5x²+9x–2x²–5x–9+8
=2x³+5x²–2x²+9x–5x–
2x³+3x²+4x–1=2x³+3x²+4x–1 (terbukti)
^^ Teorema Sisa
Di dalam teorema sisa dibagi menjadi: •Teorema sisa 1
Jika suku banyak f(x) dibagi (x–k), maka akan bersisa f(k) atau bisa di tulis:
____f(x) ____ bersisa f(k)
(X–k)
Contoh dengan pembagian bersusun :
F(x) = 2x³+3x²+4x–1 : x–1
__2x²_+_5x_+_9_
x–1 / 2x³+3x²+4x–1
__2x³–2x²_______–
5x²+4x–1
_____5x²–5x____–
9x–1
________9x–9__–
_8_| =>sisa
Contoh dengan teori horner :
F(x) = 2x³+3x²+4x–1 : (x–1) => x=1
| 2 3 4 -1
|
_1_|_____2__5__9___
| 2 5 9 _8_| => sisa
Maka kita masukan ke rumus tadi dengan mensubstitusi (=1
=>karena (x–k) =(x–1) maka k=1
F(k) = 2x³+3x²+4x–1
F(1) =2(1)³+3(1)²+4(1)–1
=2+3+4–1
=8 => (terbukti)
•Teorema sisa 2
Jika suku banyak f(x) : a(x)–b maka akan bersisa f(b/a)
Contoh dengan teori horner:
F(x) = X⁴+3x³+2x²+x–5 : (2x–1)=> x=½
| 1 3 2 1 -5
|
_½_|_____½____7/4___15/8____23/16__
1 7/2 15/4 23/8 –57/16_|=>sisa
Contoh dengan pembagian bersusun:
__½x³_+7/4x²_+15/8x_+23/16__
2x–1/X⁴+3x³+2x²+x–5
_X⁴–½x³__________–
7/2x³+ 2x² +x–5
__14/4x³–7/4x²___–
15/4x² + x –5
_______30/8x²–15/8x_____–
23/8x –5
____________46/16x –23/16__–
_–57/16_|=>sisa
Maka kita masukan ke rumus tadi dengan mensubstitusi (b/a) = (½)
=>karena a(x)–b=2(x)–1 maka (b/a) =(½)
F(x) = X⁴+3x³+2x²+x–5
F(½) =(½)⁴+3(½)³+2(½)²+(½)–5
=(¹/16)+(3/8)+(½) +(½)–5
=(7/16)–4
=–57/16 =>terbukti
•Teorema sisa 3
Jika suatu suku banyak f(x) : (x–a) (x–b) maka sisanya adalah px+q dimana f(a)=pa+q dan f(b)=pb+q dapat ditulis:
____f(x)____ sisanya px+q
(X–a) (x–b)
F(a)=pa+q
F(b)=pb+q
Contoh: x³–2x²+x+1 : x²–3x+2
*memfaktorkan
x²–3x+2 a=1
(X–1)(x–2) b=2
F(x)=x³–2x²+x+1
F(a)=x³–2x²+x+1 =>f(a)=pa+q
=(1)³–2(1)²+(1)+1 (1)=p(1)+q
=1 p+q=1
F(b)=x³–2x²+x+1 =>f(b)=pb+q
=(2)³–2(2)²+(2)+1 (3)=p(2)+q
=3 2p+q=3
*eliminasi
P +q=1
___2p+q=3__–
–p =–2
P =2
*substitusi
P +q=1
(2)+q=1
q=1–2
q=–1
°°°sisa pembagian
Px+q
2x–1
*dengan pembagian bersusun:
__x_+_1______
x²–3x+2 /x³ –2x²+x+1
__X³_3x²+2x____–
X² –x +1
______X²–3x+2__–
_2x–1_| =>sisa
^^Teorema Faktor
Jika suatu algoritma pembagian diuraikan suatu sisa bernilai nol maka itulah faktor.
Contoh:
X⁴+14x³+29x²–140x–300
Dengan teori horner:
| 1 14 29 -140 -300—>yang 300
| faktorkan
_–10_|___________________ jadi ±10 &±30
kita ambil yang –10 sehingga pembaginya –10. Maka:
| 1 14 29 -140 -300
|
_–10_|____-10_-40___110__300__
1 4 -11 -30 _0_| =>sisa
(X³+4x²–11x–30) =>hasil
X=–10 => (x+10)
Dilanjutkan:
X³+4x²–11x–30 =>yang 30 faktorkan
±5 & ±6
Kita ambil yang -5 sehingga pembaginya -5. Maka:
| 1 4 -11 -30
|
_–5_|____-5___5___30______
1 -1 -6 _0_|=>sisa
(X²–x–6) =>hasil
X=–5 =>(x+5)
Dilanjutkan memfaktorkan:
(X²–x–6)
(X+2) (x–3)
X=–2 x=3
Maka di peroleh hp{–10,–5,–2,3}
Pembuktian:
X⁴+14x³+29x²–140x–300=(x+10)(x+5)
(X+2)(x–3)
=(x²+5x+10x+50)
(X²–3x+2x–6)
=(x²+15x+50)
(X²–x–6)
=x⁴–x³–6x²+15x³
–15x²–90x
+50x²–50x–300
X⁴+14x³+29x²–140x–300=X⁴+14x³+29x²
–140x–300
!!(TERBUKTI)!!
